22 mayo 2007

¿Si hago infinitas sumas, el resultado es infinito?


Un día (hace ya un año, tal vez) hablando con un amigo en el tren (saludos a alejo) le intentaba explicar que una suma infinita no tenia por que dar un número infinito. Sin embargo esto puede resultar algo extraño.

¿cómo va a dar un numero finito una suma de infinitos números?, porque a ver, si uno tiene un número y le suma otro, obtiene otro número más grande, y si le suma otro número el resultado vuelve a aumentar, si repito esto infinitas veces el número crecerá infinitas veces también, es imposible que no de un número infinitamente grande.

Pues no, sin embargo en su momento, no se me ocurrió ningún buen ejemplo y llegamos a la estación y ahí se acabó la charla. Pero hoy 1031tensai (usease este blog) ha rescatado aquello que quedó en el aire e intentaremos poner un ejemplo para que se vea bien.

El ejemplo más sencillo que se me ocurre es



Es decir 1/10^0+1/10^1+1/10^2+1/10^3+1/10^4+1/10^5+...

Es evidente que esta suma crece a cada sumando pero nunca llegara a infinito, ni siquiera llegará al número 2. Veamos:
1/10^0=1 así que al principio vale 1; luego le sumamos 1/10^1=0,1 así que vale 1,1; seguimos sumando 1/10^2=0,01, el resultado es 1,11... ¿veis por donde vamos? nuestro número siempre aumenta, pero es evidente que nunca llegará a 2. Cuando llevemos 10 sumandos valdrá 1,1111111111; y cuando llevemos 20 sumas acumuladas valdrá 1,1111111111111111111. Al sumar infinitos números nos daría uno coma uno periodo o lo que es lo mismo 10/9.

Si me permitís me gustaría dar un ejemplo más. Este más gráfico, y que tal vez ayudará a entender esto más intuitivamente (Nota: este ejemplo está inspirado en uno de CPI, que a su vez lo tomó de AoPS).

Cogemos un triángulo y lo dividimos en 4 partes, es decir que cada una de esas partes es 1/4 del triángulo, nos quedamos con una de ellas (nos quedamos con 1/4). Ahora nos fijamos en las partes que han quedado, y dividimos en cuatro una de estas es decir dividimos 1/4 entre cuatro así que tenemos (1/4)/4=(1/4)^2 y nos volvemos a quedar con una de esas partes. Después de repetir la misma operación infinitas veces, una de cada tres partes serán nuestras. Tal y como se ve en el dibujo



Cualquier parecido con un elemento de Legend of Zelda es pura casualidad ;-)

Cuando una suma infinita da un resultado finito se dice que es convergente, en caso contrario se dice que es divergente. No siempre es tan fácil ver si una suma infinita converge o diverge.

13 comentarios:

pepe dijo...

Yo desde que vi a Carl Sagan, con aquel rollo de papel de no se cuantos kilometros, que me parece que decia que era el numero gogel plex, (me parece que decia eso) ya me lo creo todo en matematicas.
Por cierto, ¿y restando?
PD, lo de las formulitas ni una, pero el triangulo ya lo aclara, muy bueno!.

Proximo dijo...

Pepe: ¿no acabo de entender a que te refieres con restando. Si quieres decir -1-1/10-1/10^2-... da el mismo resultado pero en números negativos.

Si te refieres a uno sumando otro restando, algo tipo: 1-1/10+1/10^2-1/10^3+1/10^4 eso se llaman series alternadas y si el termino siguiente es menor que el anterior convergen siempre.

Palmz dijo...

Muy interesante esta curiosidad. Sigue así.

pepe dijo...

No, si yo lo decia porque como he oido hablar de los numeros reales y los nuneros irreales, o algo asi, por si tenia algo que ver, es que en este tema ando mas despistao que Spiderman en un descampao!

pepe dijo...

Proximo, haver que me estoy liando yo solo, ¿es lo mismo infinito que incontable?, quiero decir, los granos de arena de las playas son incontables, porque no se pueden contar todos, pero estan en la tierra, vamos en un recipiente y se podrian contar, supongo que con paciencia, y alguna maquina.
Por eso mi pregunta es ¿que es infinito?, por eso te preguntaba lo de negativo, no entiendo que pueda haver algo infinito negativo. No se si me he explicado.

Alejo dijo...

XDD... sí, me acuerdo de esa conversación... pero no había vuelto a pensar en ello desde aquél día...

Muy bueno el primer ejemplo... no había caído en que llegaría a 10/9... La veradd es que ahora me parece bastante estúpido no pensar en este tipo de tendencias en que se acaban sumando números cada vez inferiores...

rmcantin dijo...

Si en vez de diez, pones 2, tienes la paradoja de Zenon, donde el corredor nunca podra alcanzar a la tortuga, porque siempre tiene que recorrer la mitad de la distancia que los separa... y la mitad de la mitad... y la mitad de la mitad de la mitad... etc

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n

Proximo dijo...

pepe: el infinito es incontable, pero no todo lo incontable tiene por que ser infinito...

alejo: jejeje sisi, era una espinita que me quedaba por no haber sido capaz de encontrar un buen ejemplo.

rmcantin: cierto, buen comentario. Si me permites voy a poner el enlace con la etiqueta < a >
paradojas de Zenon

angro dijo...

pepe, infinito es una invención del hombre. Infinito significa un número que no acaba. Es tan irreal que puede llegar a ser confuso.

Y cuando digo "no acaba" significa que realmente no acaba. La arena de una playa es finita, el número de átomos de la Tierra es finito, incluso el número de átomos del Universo (que se estima en 10^87 si no recuerdo mal).

Me encantan estas cosas. jeje

Felicidades por el blog, proximo.

Alejo dijo...

Uala... ahí si que me has matado... no sabía que se hubiese estimado el número de átomos del universo!!!
Y me ha sorprendido... pensaba quer sería algo mayor... tirando a infinito (jejejeje)

pepe dijo...

10^87 eso para que nos entendamos como cuanto es?

Proximo dijo...

pepe: un 1 seguido de 87 ceros

FRANCO dijo...

Este post me hace acordar de ese problema que dice: "un conejo persigue a una zanahoria. Cada segundo que pasa está a la mitad de la distancia que le faltaba un segundo antes. ¿cuanto demorara el conejo en alcanzar la zanahoria?"
La respuesta es que nunca la alcanzará, ya que por mas pequeño que sea el espacio entre él y la zanahoria, siempre podrá dividirse por dos al pasar otro segundo.
Parece loco... pero es así.