27 octubre 2007

La mejor manera de hacer integrales

Imagen de invisible monsters bajo una licencia Creative Commons
Cuando hacía la asignatura de termodinámica me tocó hacer una práctica con un motor de Stirling. El sistema recogía información termodinámica (como presión, temperatura, etc.) del motor en todo momento. Podías coger dos de esas variables y "juntarlas" en un osciloscopio así que tenías por ejemplo volumen en función de la presión. Cuando lo hacías salia una especie de figura ovalada que era ni más ni menos que el ciclo del motor.

El tema está en que la presión y el volumen nos permiten obtener un resultado bastante más útil, el trabajo de ese motor, el cual es la integral de la función que en ese momento sale por la pantalla de un osciloscopio. El problema es que el osciloscopio nos muestra un dibujo, no nos da una expresión matemática que podamos integrar...

Que no cunda el pánico. La integral es el área que encierra la función pero tampoco tenemos nada que mida el área, pero se puede saber cual es con una regla de tres.

Se coge un papel, se pone contra la pantalla del osciloscopio, se calca el dibujo de la pantalla, se pesa el papel entero con una báscula de precisión(lo llamaremos P_tot), se recorta la figura del papel, se vuelve a pesar (lo llamaremos P_fun). Un papel A4 mide 21 x 29,7cm según la norma ISO-216, así que su área es de 585,9 cm^2 (Lo llamaremos A_tot). Hacemos una regla de tres: A_fun=A_tot * P_fun/P_tot.

Este sistema te permite calcular cualquier integral definida (no valen las impropias) aunque solo conozcas la forma que tiene o aunque sea una integral irresoluble analíticamente (por ejemplo e^(x^2)dx) da igual. Como todas las funciones se pueden dibujar, todas se pueden pesar.

21 comentarios:

Pedro dijo...

Una forma realmente ingeniosa... ¿No dicen que las matemáticas se 'inventaron' para explicar la realidad? En este caso, parece que también se cumple al contrario... :p

pepe dijo...

Wooola, Proximo.
Muy bueno el post, (si supiera de que estas hablando).

Pd; ¿lo podrias explicar para los que no tenemos ni p.idea de lo que es una integral?
Pd2; el motor si que se lo que es.

Proximo dijo...

pedro: sisi, a mi me hizo mucha gracia, no se... friki que es uno supongo... jajaja

pepe: Imagina que vas en coche. Y el cuenta-kilometros se te ha estropeado, sólo te funciona el velocímetro y el reloj. Imagina que en tu trabajo te pagan por kilómetros hechos. Así que piensas "ya está, cojo la velocidad a la que voy la multiplico por el tiempo durante el cual voy a esa velocidad y listos". Y ciertamente es así si vas durante hora a 100km/h haces 100 km en total.

Por desgracia tu velocímetro no para de moverse, hay momentos que marca 50km/h otros marca 70km/h en fin, va variando. Así que coges a un copiloto y le dices que apunte la velocidad cada 2 segundos (2 segundos = 0,00056 horas). El copiloto va apuntando 30, 40, 50, 30, 40, 40, 50, 60... entonces habrías hecho aproximadamente 30*0,00056+40*0,00056+50*0,00056+...

Al final tienes un resultado bastante preciso, pero sería mucho mejor si el copiloto apuntase la velocidad cada segundo, o cada décima de segundo, o...

Eso es lo que hace una integral, suma trocitos infinitamente pequeños.

pepe dijo...

No hay nada como un ejemplo para entender una teoria.
Gracias.

tofito dijo...

tot un sistema! ja me vares adelantar de que aniria es tema però mare meva no me pensava que seria tan bo!

roseta dijo...

Post sumamente interesante para enginieros. Creo que has encontrado una manera muy original de interpretar y solucionar integrales. te quería felicitar por tu blog y decirte:

Que passa Juan?? Com va tot? Fa molt de temps que llegeixo el blog i la veritat es que no sabia qui era l'autor principal. Tu segurament no sabies qui era jo (algun cop he fet algun comentari) i ara ja ho sabras. Sóc la Rosa (al·lota d'en Tòfol). Saludos des d'Irlanda!!! :P ;)

Proximo dijo...

ostras!! com va parella!!

tofito: ben content de que t'agradi :D Tot i que mai se segur si el que dius es amb conya jajaja

roseta: en seriooooo???? uOOOOO has complit un dels somnis d'aquest blogaire, que coneguessin al blog abans que a ell.

No se si esteu tots dos per zona Guiness però salut des d'aquesta illeta des Mediterrani

tofito dijo...

kin tio

josep dijo...

ole, ole i ole!

m'encanta llegir el teu blog, el vaig trobar de xiripa... i ja el tinc grabat a mis favoritos :)

Proximo dijo...

I a mi m'encanta que el llegeixis :D

aleamar dijo...

La verdad que es una opción un poco cutre para integrar. Los osciloscopios modernos tienen opción de calcular el area entre las funciones. Así te ahorras todo ese "trabajo" de calcar y demás. Y eso yo lo hacia hace como 10 años! Lo siento amigo, no es muy novedosa tu idea.

Xavi dijo...

Hola,


Creo que este método puede tener especial utilidad cuando también se trate de funciones aperiódicas que ni con programas de cálculo matemático tales como, por ejemplo, Mapple o Matlab pudieran calcular.

Esta manera alternativa de cálculo es un poco parecida, también, a cuando para hallar el volumen de un cuerpo primero lo sumerges dentro de un recipiente lleno de líquido y a continuación al nuevo nivel del agua le restas numéricamente el que se había medido antes de introducir dicho cuerpo.

Aparentemente, todo este tipo de procedimientos pueden parecer algo absurdos a primera vista, aunque, sin embargo, resultan de bastante útilidad a la hora de simplificar y ahorrar tiempo en algunos cálculos, especialmente, complicados y casi imposibles de resolver. Y, sinó, preguntádselo a los árabes y los egípcios... :P


Salu2,

JAVI =)

Anónimo dijo...

y si usas el metodo de simpson, k solo es a base de sumas multiplicaciones y leches xD Asi tambien se calculan integrales definidas. Pero vamos, metodos aproximados hay miles

AlPhA DX dijo...

Felicitaciones, humano.

El ingenio ha sido, es y será, nuestra mejor arma para enfrentar la vida.

Felicitaciones, excelente post.

Marcos dijo...

Ingenioso. Muy ingenioso.

Anónimo dijo...

Mi abuelo (ingeniero él) me contó ese método el día en que yo empezaba el laboratorio de electromagnetismo en la carrera. Es tan viejo como el osciloscopio. La verdad es que lo usé una vez y funciona, pero con márgenes de error que a un profesor no le molan.

makj dijo...

la idea me parece increiblemente ingeniosa, y como aproximacion al resultado real me parece muy buena, le veo sin embargo 2 pegas:

1.calcar y recortar implican usar un lapiz de determinado grosor, una tijeras y muy buen pulso, esto puede hacer variar el resultado en unas decimas o centesimas que podrian ser importantes... recortas por fuera o por dentro de la linea???

2.no creo que sea tan facil de encontrar una balanza con la precision suficiente para pesar una simple hoja de papel

aparte de eso, la idea es brillante

Anónimo dijo...

como matemático, encuentro bastante penoso que feliciteís una tontería así, porque desde luego esto significa que no entendéis nada de las integrales, porque lo más básico que hay que saber es que se trata de un área, y supongo que como todo ingeniero sabéis ir resolviendo ecuaciones ultra chungas para pasar de peso-->masa-->volumen-->área.

por otro lado, lo triste es que no fuese ni idea tuya, sino que te contara el profe que lo hacía así. lo que hay que ver por favor...

Anónimo dijo...

vale si no sabes integrar. Pero a nivel cientifico ¿como cuantificas el error del recortado del papel? ¿tienes las tolerancias de area del A4? Supongo que el error de la bascula si lo tienes.

Es la cuenta de la vieja y para una practica de termodinamica puede valer si tu profesor no es muy exigente. Es preferible tomar puntos, hacer un ajuste polinómico, exponencial o logaritmico e integrar.

Anónimo dijo...

Aún sigo con la boca abierta :-O

Anónimo dijo...

Excelente post muy ingenioso pero en mi universidad nunca cortan bien los A4/A3.... me jodi! xD