08 noviembre 2007

¿Por qué conocemos más las ecuaciones 2º grado que las de 3r grado?

Imagen de Geukochea bajo una licencia Creative Commons
¿Por qué nos enseñan la manera de resolver ecuaciones de grado dos y no de grado tres?. La acción de una fuerza es proporcional a la segunda derivada del espacio respecto al tiempo. Por otra parte la mayoría de problemas que implican fuerzas (hasta 2º de bachiller) son movimientos uniformemente acelerados, o tiros parabólicos en los cuales la fuerza de la gravedad se puede suponer constante, etc. Juntando las dos ideas tenemos que en la mayoría de casos la aceleración es constante. Si integramos dos veces una constante tenemos siempre una ecuación cuadrática.

Mejor un ejemplo: 2x^2+10x+12=0 aunque no os acordéis del todo o seáis más de letras, sabéis que se puede resolver con una fórmula, tal vez no os acordéis de cual, sobre todo si la vida, o la vocación os ha llevado por otros sitios :D pero seguro que os suena esto



Para resolver esta 10x^3+5x^2+2x-1=0 la cosa ya cambia, el método de resolución ya no es tan conocido. Y si llegamos a ecuaciones de grado cinco o mayores se demostró que no hay fórmula general para resolverla. Omaled habló de esto en un como siempre excelente artículo. Y sin embargo son muchos los ingenieros o arquitectos que desconocen la inexistencia de fórmulas para resolver ecuaciones de grado superior a 5, supongo que porque aparecen menos que el resto y no más que las de grado n. Podría asegurar que a partir del 3r grado sistemáticamente se resuelven con instrumentos de cálculo.

9 comentarios:

omalaled dijo...

Eps!, muchas gracias por el enlace :-)

Salud!

ivan dijo...

Hola buenos días. No soy lector habitual de este blog, he llegado de rebote... ya sabéis.

Bien, yo quería recordar un par de asuntos referidos a este tema de búsqueda de raíces de ecuaciones polinómicas de grado 3 o superior:

1.- El método de Ruffini (aplicación del algoritmo de Orsat) se estudia en la E.S.O. Con él se pueden resolver polinomios de grado superior a 2 sin problemas (en realidad los problemas existen, cuando las raíces no son números enteros, o son imaginarios...)

2.- Existen numerosos métodos iterativos para la resolución de polinomios, sean cerrados de aplicación del teorema de Bolzano: Bisección, regula falsi... o abiertos: secante, Newton-Rhapson... Mejoran el método de Ruffini puesto que no hay problemas si las raíces son decimales (las raíces imaginarias es un problema, pero afortunadamente en la realidad industrial apenas existen casos de este tipo). Entre estos métodos existe el método de newton rhapson (se estudia en bachiller pero en versión descafeinada) que posee convergencia de orden cuadrática, es decir va como un tiro sea cual sea la ecuación. Este método se complica cuando las derivadas de la función son complejas de realizar, pero si siempre vamos a tener polinomios... ESTE MÉTODO ES LO MEJOR.

Entonces, tanto en bachiller como en la E.S.O. se estudian métodos para resolver estos polinomios, eso si en versión light. Si solo vamos a tratar con polinomios, newton-rhapson es la clave, puesto que su convergencia es muy alta, su coste operativo es razonable, su algoritmo es de fácil programación y cualquier ordenador del mercado actual (por muy cutre que sea) tiene una potencia y memoria suficientes (sí, es necesario un ordenador si el polinomio es de orden alto, pero en el siglo XXI esto no es un problema, verdad???).

Conclusión: Los polinomios son sencillos de resolver, es un problema que la matemática ya resolvió hace tiempo. Cualquier ingeniero, físico, químico, matemático... debería ser capaz de resolver un polinomio, puesto que ya desde la E.S.O. se comenzó a tratar las herramientas para su resolución.

PD: buen blog.

Proximo dijo...

ivan: Jo... creo que fue tofito que me dijo lo mismo, pero pensad en como resolverías por Ruffini 3,724x^3+97,1938x^2+2,54x-536=0

y en como resolverías 97,1938x^2+2,54x-536=0 con la fórmula.

La segunda es mucho más rápida y otra cosa que también vale mucho es que sabes más o menos lo que vas a tardar antes de hacerlo

Saludos y gracias por pasarte por el blog

jdm dijo...

Que recuerdos de clases con las derivadas de segundo grado!! jeje me hace volver al instituto... Que buenos tiempos!!

Anónimo dijo...

Un blog aceptable, instructivo y ameno, muy fácil de leer, que es lo principal en todo escrito. Un talibán tipográfico, cambia este error" de cual, *sobretodo* si la vida...".¡Y sigue, que está muy bien!

Proximo dijo...

Un googol de gracias.

Francisco Javier dijo...

Debe de ser muy bueno "desconocer la inexistencia" de algo...

El artículo es muy interesante.

Proximo dijo...

:D

Beleragor dijo...

Buenas. En primer lugar enhorabuena por el blog, llegue aquí por casualidad y me ha gustado suficiente como para escribir.

Respecto a esta entrada, tengo que hacer un par de puntualizaciones. Existen fórmulas para resolver ecuaciones de grado 3 y 4, lo que pasa que son intragables.
El problema viene cuando dices que no existe fórmula para la resolución de ecuaciones de grado 5 o superior, esto no es cierto.

El Teorema de Abel dice que no existe fórmula general para resolver una ecuación de grado superior a 4 (evidentemente una para cada grado). Esto no quiere decir, que no exista fórmula para cierto tipo de ecuaciones de grado superior a 4.
De hecho, si se profundiza suficiente en el tema, se ve que para ciertos tipos de ecuaciones (de grado superior a 4) se pueden encontrar fórmulas genéricas de resolución.

La regla de Rufini es un invento que usan los profesores de matemáticas de los institutos para no enseñar a dividir polinomios (que es lo que se hace cuando se aplica). Además, sólo funciona con divisores del término independiente. Los métodos iterativos requieren por lo general un ordenado, y para ciertas ecuaciones puede que error sea grande.Si la solución es PI, y el método iterativo te da 3.14 NO HAS RESUELTO LA ECUACIÓN.

Y lo siento Ivan, pero el problema de resolución de ecuaciones arbitrarias es sumamente complejo, es cierto que está resuelto, pero dudo mucho que todo ingeniero, físico o químico sepa resolver cualquier tipo de ecuación. Tienes que tener conocimientos bastante profundos sobre teoría de Galois para saber si se puede resolver una ecuación, y más profundos todavía si se quiere encontrar una fórmula que te la resuelva.