¿De donde procede el poder de las resonancias?

Decíamos en la anterior entrada que el viejo Tacoma Narrows Bridge cayó debido al flameo o flutter. Sin embargo también puede caer por una resonancia mecánica, y es igual de espectacular.

El padre de un amigo (saludos a MiDas) tuvo que hacer la mili (el servicio militar en España) nos contó una anécdota de cuando estaba allí. Un día el sargento estaba explicandoles lo que tocase esa mañana cuando llegó al tema de cruzar un puente. El sargento se dirigió al padre de mi amigo y le dijo "a ver, usted, el arquitecto, ¿por que las tropas no pueden marcar el paso al cruzar un puente?". Por suerte el padre de mi amigo aunque era arquitecto sabía algo de estructuras (por desgracia, hoy en día, hay algunos arquitectos que no lo dominan demasiado...) y respondió: "bueno la frecuencia del paso militar podría coincidir o resultar similar a la de oscilación natural del puente... así que entraria en resonancia y..." aquí el sargento le intrrumpió diciendo "bueno, que se cae, ¿no?"

Bueno nosotros llegaremos un poco más allá y explicaremos que son las resonancias y de que manera nos afectan. Como todo, hay veces que actuan a nuestro favor y otras en nuestra contra, siendo capaces de de destruir puentes, de calentar vasos de agua de 20ºC a 100ºC en apenas 2 minutos, de escuchar lo que unas débiles ondas nos dicen, etc... Eso si, este post tal vez exija un poco más de paciencia y he de advertir que es un poco largo. Por supuesto no dudeis en preguntarme en los comentarios si hay algo que no he dejado suficientemente claro.

Para que haya una resonancia tiene que haber alguna oscilación. Es decir algo que haga un movimiento periódicamente. Por ejemplo un columpio.

Un columpio tiene cierta periodicidad, es decir el tiempo que se tarda repetir el ciclo. Como el columpio es un péndulo su periodicidad es la siguiente:
T=2*3,14*(l/g)^0.5
o lo que es lo mismo

donde T es el periodo en segundos l es la longitud del péndulo en metros y g la aceleración de la gravedad 9,81m/s^2

En un columpio de 2 metros el periodo es 2,84s. Y es siempre la misma independientemente de la masa y de la amplitud del movimiento. Bien, ahora imagienmos el columpio parado con un señor de 150 kg encima. Es evidente que no podemos hacer lo mismo que con un niño (estirar el columpio hasta cierta altura y soltarlo). Pero queremos columpiar al señor así que utilizaremos el fenómeno de la resonancia.

Para crear una resonancia sólo hay que dar un impulso mayor que la fuerza de fricción periodicamente cada 2,84 segundos. La fuerza de fricción es independiente de la masa sólo varia segun la velocidad así que al principio, como la velocidad del columpio es 0 con un pequeño impulso (el suficiente para vencer al rozamiento estático de l eje del columpio, que es constante) ya crearemos una pequeña oscilación de 2,84 segundos de periodo (ya que es la frecuencia natural que hemos calculado que tendrá). Es decir el columpio se alejara un poquito de nosotros y al cabo de 2,84 segundos volverá, en ese momento volveremos a empujar un poquito más. De esta manera la amplitud cada vez será mayor, pero el periodo seguirá siendo el mismo cada 2,84 segundos el columpio volverá a donde estamos y cada 2,84 segundos lo volveremos a impulsar, es decir la frecuencia del columpio y la de la fuerza motora es la misma y el columpio estará en resonancia, por eso es porque la amplitud cada vez es mas grande, aunque la primera oscilación fuese realmente pequeña. Y seguirá creciendo.

Ahora pueden pasar tres cosas:
1.- La amplitud sigue creciendo y como el periodo es el mismo la velocidad media del columpio es cada vez mayor (tiene que recorrer más distancia en el mismo tiempo). Como la velocidad crece y la fricción con el aire aumenta segun la velocidad llegará un momento en que la fuerza con la que impulsamos el columpio será igual a la de la fricción y la amplitud se mantendrá.

2.- La velocidad media es insuficiente como para generar una fuerza de fricción suficiente. Entonces la amplitud seguirá creciendo hasta que llegue un momento que la oscilación sea tan grande que el columpio llegue a una altura para la que no esté diseñado volcando la silla y con la consecuente torta del señor que estába sentado en el.

3- Cuando el que empuja ve que la amplitud llega a ciertas cotas, decide disminuir su impulso hasta mantener la amplitud constante (que es lo que pasa en la realidad). Lo que el que empuja esta haciendo sin darse cuenta es igualando esas fuerzas llegando a un equilibrio.

En el primer y tercer caso utilizamos la resonancia, en el segundo se nos descontrola destruyenendo el sistema.

Finalmente si dejamos de empujar la fuerza de fricciónno encontrará oposición y irá disminuyendo la amplitud hasta que el columpio se pare.

Bien, este tipo de resonancia se llama resonancia mecánica y es también la que producirian los soldados al caminar por el puente. Supongamos que la frecuencia natural de oscilacion de un puente fuese 1 Hz (1 oscilacion/s) y que 100 soldados diesen un paso cada segundo todos a la vez. Al principio parecería que el suelo tiembla un poquito pero si siguen el puente oscilará cada vez más y si las fricciones son menores que la fuerza de los pasos llegará una amplitud que el puente no podrá resistir, y será destruido.