09 agosto 2007

El hexágono, máxima compacidad

Foto de Emmanuel Boutet bajo una licencia Creative Commons
¿Os habéis fijado en los panales? son hexagonales, ya son ganas, ¿por qué no hacerlo cuadrado?. Hace ya algún tiempo fui a cenar a casa de unos amigos (saludos a Moranko, Gabri, Palerm, y "es Pinero") otro amigo nuestro (saludos a MiDas) les había hablado de los hexágonos y que era la figura geométrica de máxima compacidad (en 2D se entiende), luego la conversación se fue por otros sitios y la cosa quedó en el aire. Tiempo después me dijeron "pero por que el hexágono y no el cuadrado por ejemplo". Y es verdad, si tu apilas cajas cuadradas guardas el mismo espacio que las hexagonales. No quedan "huecos". Bueno eso es verdad pero hay que entender que cuanto más se aleja algo del centro de área es menos "compacto".

Bien, la figura geométrica que mantiene todos los puntos de la frontera a la misma distancia es la circumferencia (no hay ningún punto que se aleje más del centro que otros, como pasaría con un cuadrado), además de que no hay "huecos". Así que sería la figura más compacta individualmente. Si nos fijamos también es la que tiene menor perímetro por igual área. Estas dos ideas están muy relacionadas, pero eso ya es otra historia.

Bien es la más compacta individualmente, pero que pasa cuando ponemos muchas. Coged 7 monedas iguales y colocadlas de manera que quede lo más compacto posible (esto se lo más cercano al centro posible y a su vez ocupando el mínimo espacio posible). Os quedará algo así:

No se si ya intuís el hexágono. De todas formas es evidente que quedan unos huecos entre las monedas, que, las coloques como las coloques no se pueden eliminar. Imaginemos ahora que las monedas son más blandas de lo que son (o nosotros somos más fuertes) y las apretamos obligándolas a ocupar el espacio que queda. Cada hueco esta rodeado por tres monedas idénticas así que cada hueco cede un tercio a cada moneda. La figura que quedaría sería esta

Ahora ya no hay huecos pero los vértices están algo más lejos del centro que el resto de los puntos. Es cierto, pero no mucho más, cuanto más lados tiene un polígono menos se alejan los vértices del centro (cuando tiene infinitos lados es una circunferencia) hemos sacrificado tener todos los puntos a la misma distancia a cambio de que no queden huecos.

Por otra parte, salvo ciertas excepciones, entre los polígonos en general quedarían huecos. Por ejemplo es imposible juntar cosas (compactar) con octógonos, siempre quedan huecos. Las excepciones son el triangulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Como de estos tres el que tiene más lados (y por tanto menos se alejan los puntos del centro) es el hexágono, es este la figura más compacta. Es decir que si juntamos muchos hexágonos iguales no quedarán huecos y los puntos de las fronteras estarán casi a la misma distancia.

PS:tofito i roseta nos hacen llegar una foto de la costa irlandesa. Las formaciones de rocas volcánicas adoptan forma de hexágonos con apariencia de escaleras para gigantes.

17 comentarios:

Juanma dijo...

Me parece muy bien, pero deja de poner "bien" al principio de cada frase... (Lo haces unas cuantas veces). Queda muy mal.

CharlexChaplin dijo...

"¿Os habéis fijado en los panales? son hexagonales, ya son ganas, ¿por qué no hacerlo cuadrado?"

Aunque parece una buena "intro" es mucho mejor preguntarse xq no son cilindros (círculos)y te diré el xq. Realmente las abejas fabrican sus almenas en apilando cilindros, al apilar tantas celdas la fuerza que ejerce uno sobre otro da lugar a su forma. La forma de mayor volumen como bien dices. Pero esto no es un caso aislado, también lo puedes ver si comprimieras burbujas de jabón por ejemplo. La naturaleza es sabia, tanto que aplica este principio hasta en la fóvea del ojo donde los receptores se apilan asi para formar la zona de mayor agudeza visual. Si te interesa ir más allá decirte que existen libros de lo que se conoce como "Matemáticas cotidianas" donde analizan muchísimos casos parecidos.

Un saludo

Anónimo dijo...

No haz explicado la razon, body!! Consulta a la genética...

Anónimo dijo...

Muy interesante. Gracias por la información.

Néstor dijo...

Ciertamente muy interesante :) Muchas gracias!

Anónimo dijo...

Muy buena explicacion!

Danilo ;-)

David dijo...

Solo decirte que al final de la entrada escribiste "ponto" en vez de "punto".
Buen comentario y ni que decir tiene que no me voy enfadar si borras este comentario.
Animo y sigue con el blog, que esta interesante

Anónimo dijo...

Imagina como reparten las compañias de telefonía móvil su cobertura entre antenas.

Alejo Vivas Amadío dijo...

lo que hace la naturaleza

luisan82 dijo...

Muy bueno el post y la explicación.
Añadiré que matemáticamente hablando, para que una figura geométrica pueda teselar el plano (vamos, formar un mosaico sin huecos) se debe dar la condición [(n-2)*180º]/[n*k]=360º Siendo n el número de lados y k un número entero. El hexágono tiene 120º en sus ángulos interiores, con k=3. Para k=2, estaríamos usando una figura cuyo ángulo interior fuera de 180º, pero como esto no es posible, el hexágono es, como bien dices, la figura geométrica de más lados que permite teselar el plano, y por ello la más compacta.

Un saludo

Proximo dijo...

juanma: tienes razón. Es una muletilla y tal... es que las entradas las escribo mientras voy pensándolas y luego tengo la mala costumbre de no revisarlo (y de no poner fuentes). Intentaré mejorar.

charlex: es verdad, en realidad la parte de dentro sigue siendo circular. Lo cual en cierta manera evidencia la relación circulo hexágono.

anónimo 1: comorr?¿

anónimo 2, nestor anónimo 3: me alegro que os haya gustado

david: ahora lo corrijo :)

anónimo 4: no lo sabía. thnx por el comentario

alejo vivas: ni te lo imaginas. jejeje

luisan: Muy buen comentario. Mil gracias por el comentario

omalaled dijo...

Hmmmmm, ¿y cuál es la ordenación de mayor compacidad en 3D? :-)

Salud!

pepe dijo...

una cosa, el hexagono, en tres dimensiones, ¿no se convertira en un octagono, porque le tendras que poner un fondo y una tapa?.

Pedro dijo...

omalaled, me temo que sólo se me ocurre el cubo. Mira que he estado días dándole vueltas, pero, si hablamos de figuras regulares, yo diría el cubo.

Anna dijo...

Hola, acabo de llegar a tu blog, y lo encuentro muy interesante.

Además, con esta entrada tocas un punto que me interesa mucho desde que en el Cosmocaixa de Barcelona se inauguró una exposición (que ha estado como itinerante en más sitios, pero no se donde). Se llamaba "I després fóu... La Forma!" (Y luego fue... ¡La forma!) y reflexionaba sobre el uso que tienen las distintas formas en la naturaleza, dándole a cada una una frase resumen: la esfera proteje, el hexágono pavimenta, etcétera.

Anónimo dijo...

...Es decir que si juntamos muchos hexágonos iguales no quedarán huecos y los puntos de las fronteras estarán casi a la misma distancia...

bien, como dice usted mas o menos al finalconcluye ESTO. ¿A que se refiere con ese --CASI--?
ESPERO SUS RESPUESTAS PRONTO SI PUEDE, NECESITO ESTA INFORMACION PARA DETRO DE 25 HORAS PARA MIS ESTUDIOS YA QUE DE LO CONTRARIO ARRIESGO ALGO MUY IMPORTANTE EN MI VIDA
ES INTERESANTE LO QUE ESCRIBE PERO YO ME PREGUNTNO EN QUE SE BASÓ PARA EXPLICARLO ASÍ DE CLARO ¿RAZONANDO ? O ¿LEYENDO OTRAS FUENTES?
GRACIAS

David dijo...

O dicho de otra forma el hexagono es la figura geometrica del plano cuya relacion entre su area y su perimetro es maxima, es decir con el menor perimetro se alcanza la maxima area, esto se puede demostrar matematicamente por induccion y te sale n=6. Construyete la formula del area y del perimetro de una figura de 3 lados (triangulo), de 4 lados (rectangulo), de 5 lados (pentagono)....etc y por induccion se obtiene n=6, osea que la figura es el famoso HEXAGONO.