Raspberry Pi Instalación de NOOBS y primeros pasos.

Hoy he instalado con éxito (y muy fácilmente) varios sistemas operativos para la raspberry pi gracias a NOOBs v1.3.

Básicamente he seguido los pasos de la web "Aquí hay apuntes" y más concretamente los videos de biblioman09

• Raspberry Pi - primeros pasos 
• Conexión remota desde un PC
• NOOB 1.3

Recomiendo, ver los tres vídeos seguidos tomando apuntes y luego aplicar lo aprendido para instalar noobs en la raspberry pi. Pero ahí cada cual que haga lo que quiera.

Por si sirven a alguien, los apuntes rápidos que he tomado son los siguientes:

• Descargar NOOBS desde la página oficial de Raspberry, en la sección de descargas.
• Usar Gparted (en linux), para formatear la SD a fat 32.
• Copiar los archivos descomprimidos en la raiz de la SD
• Metemos la SD en la RaspberryPi. Que debe tener conectado un cable hdmi hacia un monitor, un teclado y un mouse, y si es posible conexión ethernet.
• Seleccionamos los Sistemas Operativos que queramos instalar (los llamaremos OS, por Operating Systems, a partir de ahora). Y le damos a instalar.
• Una vez acabada la instalación, reiniciamos (si no lo ha hecho el sistema de por si), y seleccionamos el sistema operativo que queramos iniciar. En mi caso Raspbian.
• Nos aparece Raspberry Pi Software Configuration Tool, le doy a finish porque las opciones me van bien así como están.
• Si queremos iniciar el servidor gráfico ejecutamos el comando startx.
• reboot para reiniciar.
• Ejecuto reebot, reinicia y deja elegir sistema operativo, pero si no elijo ninguno se ejecutará el mismo que la última vez al cabo de 10 segundos. Esto es especialmente útil si a a partir de ahora nos conectaremos de manera remota.

A partir de aquí ya entramos en la conexión remota para la linea de comandos.

• ejecuto ifconfig (en la Raspberry) para saber la dirección ip de mi dispositivo. Configuro que la IP de la Raspberry sea siempre la misma.
• Nos bajamos putty al PC desde su página de descargas para acceder por conexion ssh a la raspberry. 
• Abrimos putty escribimos la dirección IP de la raspberry (que obtuvimos antes). El puerto es el 22. Si siempre tenenmos la misma IP podemos guardar esta configuración con el nombre RaspPi por ejemplo.
• le damos a conectar.
• El usuario por defecto: pi y el password: raspberry
• Si queremos cambiar el password tecleamos sudo passwd

A partir de aquí la conexión remota a una interfaz gráfica:

• Nos bajamos al PC VNC viewer.
• Abrimos putty para conectar remotamente. Conectamos como en el aparatado anterior.
• Una vez en la raspberry tecleamos la orden sudo apt-get update y posteriormente sudo apt-get upgrade para actualizarnos.
• Tecleamos sudo apt-get install tightvncserver
• Finalmente para que se ejecute el servidor VNC que acabamos de instalar tecleamos sudo tightvncserver -geometry 1920x1080 -depth 24 :1
• Ahora abrimos el VNC viewer desde nuestro PC y introducimos la IP de nuestro dispositivo, y el puerto 5901. Si en el punto anterior hubiésemos tecleado tightvncserver -geometry 1920x1080 -depth 24 :2 (la diferencia es el 2 final), el puerto seria 5902.

Los padres de nuestros padres

grandson-grandpa foot comparison de sean dreilingerbajo una licencia Creative Commons

Se dice que Genhis Kan tiene una descendencia del 8% de la población de los territorios que conquistó, un porcentaje impresionante sin duda, pero no el mayor. Hay otros individuos (anónimos en su mayoría) con un porcentaje mucho mayor de descendientes.

El punto clave aquí es como siempre el crecimiento exponencial. Es decir, tenemos un padre y una madre (2 individuos), los cuales tienen respectivamente un padre y una madre cada uno (4 individuos). A su vez nuestros 4 abuelos y abuelas tenían una madre y un padre (8 individuos).

En el ejemplo la primera línea corresponde a los bisabuelos.



Cada generación nuestro número de ascendientes se duplica. Tras 10 generaciones tenemos 1024 ascendientes y tras 100 generaciones nuestro número de ascendientes es aproximadamente un quintillón (1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000) de individuos.

Si pensamos que cada generación está separada entre si por 30 años, 100 generaciones atrás son:



Resumiendo ¿hace tan sólo 3.000 años había tantos seres humanos en la Tierra? Eso es simplemente imposible, pero no hay ningún error de cálculo, 2 elevado a 100 es aproximadamente un uno seguido de 30 ceros, y es evidente que cada uno de nosotros tiene 2 ascendientes...

Pero hubo algo que no consideramos. Nuestros padres no tienen padres en común es decir no son hermanos, pero a lo mejor tienen abuelos en común, es decir son primos hermanos.



De esta manera el número de bisabuelos es de 6 en vez de 8 ascendientes. Puede que nuestros padres no tengan abuelos en común pero y bisabuelos o tatarabuelo o...

A medida que retrocedemos en el tiempo la probabilidad de tener un antepasado común con nuestra pareja aumenta. Es decir en nuestro árbol genealógico hay individuos que aparecen varias veces. Es como un sistema de votación, aquellas líneas que más prosperaron, o las más antiguas aparecen más veces en el árbol.

Un ejemplo simplista, y por lo tanto falso, pero que ayuda a ver esta idea: Supongamos que un individuo desarrolla un gen que le protege de una epidemia mortal que aun ni siquiera existe. Quinientos años después sólo las personas con ese gen sobreviven a esa nueva enfermedad en una época en la que la medicina aun no está desarrollada. El 100% de la población seria descendiente de esa persona.

Si voy de Manacor a Palma (media armónica)

Tachimetro de ЕленАндреаbajo una licencia Creative Commons

Si voy de Manacor a Palma a una velocidad media de 90km/h y vuelvo a una velocidad media de 110km/h. ¿A que velocidad media habré circulado en la ida y vuelta? La respuesta es sencilla, a 100km/h...

Pues la verdad es que no. Cuando la respuesta parece sencilla, nuestro cerebro opta por no detenerse a examinar los datos, y a dar una respuesta rápida.

En realidad si voy de Manacor a Palma y vuelvo habré recorrido una distancia 2d (siendo d la distancia entre ambas ciudades) en d/90+d/110 horas. Es decir la velocidad media sera 2d/(d/90+d/110). Simplificando 2/(1/90+1/110) = 99km/h

Norma DIN, razón aurea y papiroflexia (I)

Fábrica de papel abandonada (porJ_O_N_A_X) bajo una licencia Creative Commons

Ayer por la noche me dediqué a partir unos folios normales (DIN A4) usados sólo por un lado en cuatro trozos con el fin de reutilizarlo como hojas de notas. De esta manera obtuve 4 trozos de papel tamaño DIN A6, que tienen las mismas proporciones que un folio normal pero son 4 veces más pequeños. Esto no pasa por casualidad.

Supón que se te encarga la labor de fabricar una hoja de papel que te sirva de estándar. Una hoja es una superficie plana, así que rápidamente te pones a pensar en figuras 2D, debido a nuestro tipo de escritura, lo mejor es un rectángulo.

Vale, ya tenemos la figura. Ahora hay que decidir su tamaño. De cara a la fabricación lo ideal es que tenga un número sencillo como 1m². De esta manera cuando te pregunten "oye, ¿cuantos metros cuadrados de papel necesitas para fabricar 1000 hojas? rápidamente contestas "1000".

Ahora bien 1m² es demasiado grande. Es evidente que tendrás que hacer tamaños más pequeños. Por otra parte aun no has decidido su altura ni anchura. Lo más fácil es decir 1x1 y te quedaría un cuadrado. Ahora bien, un cuadrado si lo divides por la mitad te queda un rectángulo 1x0,5 que no conserva la misma proporción que el cuadrado. Es decir, no es como la hoja inicial pero más pequeña. Para conseguirlo deberías volver a dividirlo.

El problema es que claro es 4 veces más pequeño, hay demasiada distancia. Así que decides buscar un rectángulo tal que cuando lo divides te quedan dos rectángulos iguales al primero pero más pequeños, es decir que tengan la misma proporción.

Llamaremos A al ancho y L al largo. La proporción es A/L, y esta tiene que ser igual después de dividirlo así que escribimos:


(Para los que usáis un reader A/L=(L/2)/A)

Aislamos A


A/L=(L/2)/A --> A^2 = L^2/2 --> A=L/2^(1/2)

Por otra parte el area debe ser un metro cuadrado. Por lo tanto:

AL=1 --> 1/L = L/2^(1/2) -->

L=2^(1/4)=1,1892...

Ya tenemos el largo, el ancho habíamos quedado que era 1/L = 0,841... y por fin hemos cumplido el encargo. A este papel lo llamamos DIN-A0 a su mitad DIN-A1 (que mide 0,5m²), a la mitad del DIN-A1 lo llamamos DIN-A2, etc.

Si lo pensáis bien este sistema es realmente práctico. Permite obtener fácilmente todos los tamaños ya que dividir un papel por la mitad es fácil, doblándolo de manera que coincidan las esquinas, por ejemplo.

De cara a la fabricación también va perfecto, siempre te sale un número entero de hojas sea el tamaño que sea para un número entero de metros cuadrados por ejemplo 7 metros cuadrados de papel son 56 DIN-A3.

Podríamos haber definido otra proporción. ¡Seguro! todo depende de la condición que pongamos, y esta depende del uso que le vayamos a dar, estética, que su perímetro sea el mínimo, papiroflexia, etc. Y sobre esto me gustaría hablar en próximas entradas si el tema os parece interesante. ¿Qué me decís?

¿A que no adivinas que número estoy pensando?

Foto de MetalPhoeniX bajo una licencia Creative Commons

Mi novia y yo estábamos jugando con los sobrinos a adivinar que número estaba pensando la otra persona. Para los que no hayan jugado nunca se trata de que A diga un número y si no acierta B le dice si el número pensado es mayor o menor.

Jugábamos con números del 1 al 10 o si queríamos que la partida se alargase del 1 al 100, en este último caso acababan usando un montón de intentos (incluso repetían números que no se acordaban que habían dicho). En eso que les aseguré que era capaz de adivinar cualquier número del 1 al 10.000 en 20 intentos máximo. La primera vez lo hice en 12 cosa que atribuyeron a la suerte, la segunda en 14 (creo)... jajaja, bueno los niños son un publico fácil, al menos en esto.

El método no es muy difícil, es ir reduciendo el número de candidatos a la mitad cada vez. Por ejemplo
-5.000
-menos
-2.500
-menos
-1.250
-mas
(etc)

Lo que no es tan inmediato es saber cuantos intentos se necesitan de antemano como máximo. Para calcular el numero de intentos se hace el logaritmo base 2 del número de candidatos. De esta manera el número de intentos necesarios en nuestro caso es log₂10.000 = 13,29 intentos. Para hacerlo de cabeza contáis el número de ceros (4 en nuestro caso) y lo multiplicáis por 3, os quedará un número aproximado a la baja. Por ejemplo si el rango es de 1 a 1.000.000 es aprox 6x3=18 (en realidad 20).

Todo esto se utiliza bastante en programación en búsquedas en listas ordenadas. En realidad la mayoría de nosotros lo ha hecho, porque de las miles de personas que aparecen en la guía telefónica apenas tardamos 1 minuto en dar con el que buscamos, o con las miles de entradas que tiene un diccionario. Pensemos como lo hacemos, buscamos la palabra "pereza" abrimos el diccionario por un poco más de la mitad, nos aparece "muerte" como "muerte" va antes que pereza nos olvidamos de todas las palabras que hay antes de muerte (acabamos de reducir la búsqueda a la mitad), ahora buscamos en la mitad de las páginas que nos quedan, aparece "pardo" (uy, ya casi estamos) etc. Si nos fijamos lo que hacemos es ir acotando la búsqueda, no haciendo una exhaustiva.

Pero sólo lo podemos hacer con listas ordenadas. Si el diccionario no siguiese ningún orden preestablecido (o no lo conociésemos nosotros), estaríamos obligados a hacer una búsqueda exhaustiva, es decir, ir mirando una por una todas las palabras. ¿Como se busca en un diccionario chino? jejeje

¿Por qué conocemos más las ecuaciones 2º grado que las de 3r grado?

Imagen de Geukochea bajo una licencia Creative Commons

¿Por qué nos enseñan la manera de resolver ecuaciones de grado dos y no de grado tres?. La acción de una fuerza es proporcional a la segunda derivada del espacio respecto al tiempo. Por otra parte la mayoría de problemas que implican fuerzas (hasta 2º de bachiller) son movimientos uniformemente acelerados, o tiros parabólicos en los cuales la fuerza de la gravedad se puede suponer constante, etc. Juntando las dos ideas tenemos que en la mayoría de casos la aceleración es constante. Si integramos dos veces una constante tenemos siempre una ecuación cuadrática.

Mejor un ejemplo: 2x^2+10x+12=0 aunque no os acordéis del todo o seáis más de letras, sabéis que se puede resolver con una fórmula, tal vez no os acordéis de cual, sobre todo si la vida, o la vocación os ha llevado por otros sitios :D pero seguro que os suena esto



Para resolver esta 10x^3+5x^2+2x-1=0 la cosa ya cambia, el método de resolución ya no es tan conocido. Y si llegamos a ecuaciones de grado cinco o mayores se demostró que no hay fórmula general para resolverla. Omaled habló de esto en un como siempre excelente artículo. Y sin embargo son muchos los ingenieros o arquitectos que desconocen la inexistencia de fórmulas para resolver ecuaciones de grado superior a 5, supongo que porque aparecen menos que el resto y no más que las de grado n. Podría asegurar que a partir del 3r grado sistemáticamente se resuelven con instrumentos de cálculo.

La mejor manera de hacer integrales

Imagen de invisible monsters bajo una licencia Creative Commons

Cuando hacía la asignatura de termodinámica me tocó hacer una práctica con un motor de Stirling. El sistema recogía información termodinámica (como presión, temperatura, etc.) del motor en todo momento. Podías coger dos de esas variables y "juntarlas" en un osciloscopio así que tenías por ejemplo volumen en función de la presión. Cuando lo hacías salia una especie de figura ovalada que era ni más ni menos que el ciclo del motor.

El tema está en que la presión y el volumen nos permiten obtener un resultado bastante más útil, el trabajo de ese motor, el cual es la integral de la función que en ese momento sale por la pantalla de un osciloscopio. El problema es que el osciloscopio nos muestra un dibujo, no nos da una expresión matemática que podamos integrar...

Que no cunda el pánico. La integral es el área que encierra la función pero tampoco tenemos nada que mida el área, pero se puede saber cual es con una regla de tres.

Se coge un papel, se pone contra la pantalla del osciloscopio, se calca el dibujo de la pantalla, se pesa el papel entero con una báscula de precisión(lo llamaremos P_tot), se recorta la figura del papel, se vuelve a pesar (lo llamaremos P_fun). Un papel A4 mide 21 x 29,7cm según la norma ISO-216, así que su área es de 585,9 cm^2 (Lo llamaremos A_tot). Hacemos una regla de tres: A_fun=A_tot * P_fun/P_tot.

Este sistema te permite calcular cualquier integral definida (no valen las impropias) aunque solo conozcas la forma que tiene o aunque sea una integral irresoluble analíticamente (por ejemplo e^(x^2)dx) da igual. Como todas las funciones se pueden dibujar, todas se pueden pesar.

Las bacterias se multiplican dividiendose

Foto del Gobierno Federal de los EEUU bajo dominio público

¡¡Hola a todos!! Siento haber tardado tanto en dar señales de vida, pero entre el nuevo curro, la mudanza de Barcelona a Mallorca y que no tenía Internet en casa se hacía un poco difícil...

Bien, al tema. El título no se me ocurrió a mi pero es bastante chulo para el tema que sigue. Las bacterias para reproducirse utilizan un sistema llamado mitosis, en este proceso una célula copia su ADN para luego dividirse y crear una célula idéntica a la original. Cada vez que se hace el proceso el número de células se multiplica por 2.

Si suponemos una bacteria cilíndrica (bacilo) de 2 μm de diámetro por 7 μm de "altura", nos sale un volumen de V=(diametro/2)²*π*altura=(2E-6/2)²*π*7E-6 = 22E-18 m³. (donde E-18 significa 10^-18) Luego suponiendo que tienen una densidad cercana a la del agua 22E-18 m³ * 1000 kg/m³ * 1000 g/kg = 22E-12g (una billonésima parte de un gramo).

Aunque su peso sea muy muy pequeño hay que pensar que cada bacteria se multiplica por 2 cada 15 minutos en condiciones favorables. Supongamos que a las 12 de la noche de mañana (1 de Octubre) hubiese una sola bacteria en el mundo. A las 00:15 habría 2, a las 00:30 habría 4, luego 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, a las 2:30 ya habría 1024. A las 5:00 ya habría un millón. A las 10:00 habría un billón, y por lo tanto nuestra colónia de bacterias ya pesaría 22 gramos ¡¡ya podríamos notar su peso con la mano!! Pero sigamos un poco más, a las 15:00 la colonia pesaría 22 toneladas, y el día aún no ha acabado. Al acabar el día ya pesarían 1.400.000.000.000.000 kg, a las 6:30 del 2 de Octubre pesarían más que la Tierra, a las 16:00 pesarían más que todo el Sistema Solar junto.

Sin embargo si miramos a nuestro alrededor no vemos tantas, y eso que han tenido millones de años para multiplicarse. El tema está que cuando la colonia empieza a ser algo numerosa se encuentran con algún obstáculo que impide su crecimiento como condiciones ambientales bactericidas, escasez de alimento, etc. Menos mal ¿no? jajajaja

El hexágono, máxima compacidad

Foto de Emmanuel Boutet bajo una licencia Creative Commons

¿Os habéis fijado en los panales? son hexagonales, ya son ganas, ¿por qué no hacerlo cuadrado?. Hace ya algún tiempo fui a cenar a casa de unos amigos (saludos a Moranko, Gabri, Palerm, y "es Pinero") otro amigo nuestro (saludos a MiDas) les había hablado de los hexágonos y que era la figura geométrica de máxima compacidad (en 2D se entiende), luego la conversación se fue por otros sitios y la cosa quedó en el aire. Tiempo después me dijeron "pero por que el hexágono y no el cuadrado por ejemplo". Y es verdad, si tu apilas cajas cuadradas guardas el mismo espacio que las hexagonales. No quedan "huecos". Bueno eso es verdad pero hay que entender que cuanto más se aleja algo del centro de área es menos "compacto".

Bien, la figura geométrica que mantiene todos los puntos de la frontera a la misma distancia es la circumferencia (no hay ningún punto que se aleje más del centro que otros, como pasaría con un cuadrado), además de que no hay "huecos". Así que sería la figura más compacta individualmente. Si nos fijamos también es la que tiene menor perímetro por igual área. Estas dos ideas están muy relacionadas, pero eso ya es otra historia.

Bien es la más compacta individualmente, pero que pasa cuando ponemos muchas. Coged 7 monedas iguales y colocadlas de manera que quede lo más compacto posible (esto se lo más cercano al centro posible y a su vez ocupando el mínimo espacio posible). Os quedará algo así:

No se si ya intuís el hexágono. De todas formas es evidente que quedan unos huecos entre las monedas, que, las coloques como las coloques no se pueden eliminar. Imaginemos ahora que las monedas son más blandas de lo que son (o nosotros somos más fuertes) y las apretamos obligándolas a ocupar el espacio que queda. Cada hueco esta rodeado por tres monedas idénticas así que cada hueco cede un tercio a cada moneda. La figura que quedaría sería esta

Ahora ya no hay huecos pero los vértices están algo más lejos del centro que el resto de los puntos. Es cierto, pero no mucho más, cuanto más lados tiene un polígono menos se alejan los vértices del centro (cuando tiene infinitos lados es una circunferencia) hemos sacrificado tener todos los puntos a la misma distancia a cambio de que no queden huecos.

Por otra parte, salvo ciertas excepciones, entre los polígonos en general quedarían huecos. Por ejemplo es imposible juntar cosas (compactar) con octógonos, siempre quedan huecos. Las excepciones son el triangulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Como de estos tres el que tiene más lados (y por tanto menos se alejan los puntos del centro) es el hexágono, es este la figura más compacta. Es decir que si juntamos muchos hexágonos iguales no quedarán huecos y los puntos de las fronteras estarán casi a la misma distancia.

PS:tofito i roseta nos hacen llegar una foto de la costa irlandesa. Las formaciones de rocas volcánicas adoptan forma de hexágonos con apariencia de escaleras para gigantes.

¿Si hago infinitas sumas, el resultado es infinito?

Un día (hace ya un año, tal vez) hablando con un amigo en el tren (saludos a alejo) le intentaba explicar que una suma infinita no tenia por que dar un número infinito. Sin embargo esto puede resultar algo extraño.

¿cómo va a dar un numero finito una suma de infinitos números?, porque a ver, si uno tiene un número y le suma otro, obtiene otro número más grande, y si le suma otro número el resultado vuelve a aumentar, si repito esto infinitas veces el número crecerá infinitas veces también, es imposible que no de un número infinitamente grande.

Pues no, sin embargo en su momento, no se me ocurrió ningún buen ejemplo y llegamos a la estación y ahí se acabó la charla. Pero hoy 1031tensai (usease este blog) ha rescatado aquello que quedó en el aire e intentaremos poner un ejemplo para que se vea bien.

El ejemplo más sencillo que se me ocurre es



Es decir 1/10^0+1/10^1+1/10^2+1/10^3+1/10^4+1/10^5+...

Es evidente que esta suma crece a cada sumando pero nunca llegara a infinito, ni siquiera llegará al número 2. Veamos:
1/10^0=1 así que al principio vale 1; luego le sumamos 1/10^1=0,1 así que vale 1,1; seguimos sumando 1/10^2=0,01, el resultado es 1,11... ¿veis por donde vamos? nuestro número siempre aumenta, pero es evidente que nunca llegará a 2. Cuando llevemos 10 sumandos valdrá 1,1111111111; y cuando llevemos 20 sumas acumuladas valdrá 1,1111111111111111111. Al sumar infinitos números nos daría uno coma uno periodo o lo que es lo mismo 10/9.

Si me permitís me gustaría dar un ejemplo más. Este más gráfico, y que tal vez ayudará a entender esto más intuitivamente (Nota: este ejemplo está inspirado en uno de CPI, que a su vez lo tomó de AoPS).

Cogemos un triángulo y lo dividimos en 4 partes, es decir que cada una de esas partes es 1/4 del triángulo, nos quedamos con una de ellas (nos quedamos con 1/4). Ahora nos fijamos en las partes que han quedado, y dividimos en cuatro una de estas es decir dividimos 1/4 entre cuatro así que tenemos (1/4)/4=(1/4)^2 y nos volvemos a quedar con una de esas partes. Después de repetir la misma operación infinitas veces, una de cada tres partes serán nuestras. Tal y como se ve en el dibujo



Cualquier parecido con un elemento de Legend of Zelda es pura casualidad ;-)

Cuando una suma infinita da un resultado finito se dice que es convergente, en caso contrario se dice que es divergente. No siempre es tan fácil ver si una suma infinita converge o diverge.

Aumenta tu nota en los examenes tipo test

He hecho bastantes exámenes en mi vida. Algunos tipo test. Y me he dado cuenta de que saber hacer exámenes es bastante importante, no tanto como saberse el temario, pero si que pueden subirnos algun punto. La entrada es larga pero muy útil.

Ya he dado ejemplos en entradas anteriores de lo descorcentantes y/o sorprendentes que son las probabilidades (Probabilidades, Ask Marilyn, Tres hermanos y una hermana) esta es una nueva vuelta de terca que tal vez sea de utilidad a algunos. Tal vez a algunos os cueste pillarlo (porque me explico mal) pero os aseguro que si os esforzais un poco en entenderlo merece la pena.

Normalmente los examenes tipo test funcionan de la siguiente manera: hay una respuesta correcta y el resto son incorrectas. Normalmente las correctas aumentan tu puntuación, las incorrectas la disminuyen y las no contestadas son neutras.

Lo que suman y lo que resta cada pregunta es para garantizar que alguien que responda aleatoriamente todas las preguntas (es decir que no tiene ni idea) saque un 0. Por tanto si hay 5 opciones (1 correcta 4 incorrectas) una pregunta correcta suma un punto y una pregunta incorrecta resta 0,25. ¿Por que 0,25 y no 0,4? Porque si contestamos aleatoriamente tenemos 1 probabilidad entre 5 de responderla bien, y 4/5 de contestarla mal, como responder una pregunta mal es 4 veces más probable que responderla bien, estas descuentan 4 veces menos que las respuestas correctas (es decir 1/4=0,25). Por ejemplo si hubiese 4 opciones (1 correcta 3 incorrectas) la correcta sumaria 1 y la incorrecta restaría 0,33. Si es un examen a verdadero y falso las correctar suman 1 las incorrectas restan 1.

1r punto importante: Mirar cuanto descuentan las incorrectas. Pensad que los profes no tienen porque saber como calcular esto. Si lo que resta está mal podemos aprovecharlo. Yo he visto exámenes con 4 opciones (1 correcta 3 incorrectas) donde las incorrectas restan 0,25 (y recordemos que deberian descontar 1/3=0,33). Como descuentan menos de lo que debería hay que contestar todas las preguntas incluso las que no tengamos ni idea.

Por ejemplo supongamos que en un examen de 100 preguntas sabemos seguras 20 y 80 no tenemos ni idea. Si el sistema de puntuación está mal (descuentan menos de lo que deberian). Al final del examen habremos sacado 20 puntos de las que sabíamos seguras, del resto como 1 de cada 4 es correcta y 3 de cada 4 es incorrecta, habra 80/4=20 preguntas que habremos acertado aleatoriamente y 80*3/4=60 preguntas que habremos fallado. Si el sistema de puntuaciones fuese correcto habríamos no habríamos sumado nada (20*1-60*0,33=0) pero al restar menos de lo que deben obtenemos 5 puntos extra (20*1-60*0,25=5).

Voy a estandarizarlo a 100 preguntas. Obtienes 6,25 puntos por 100 preguntas contestadas de esta forma.

2o punto importante: Si hay almenos una opción que sabemos seguro que es incorrecta hay que responder esa pregunta aleatoriamente entre las opciones restantes.

Por ejemplo, si la opcion "c" sabemos que es incorrecta seguro y marcamos una de las que quedan (a,b,d,e) tenemos 1/4 probabilidades de acertar y 3/4 de fallar pero como hay 5 opciones las incorrectas restan 0,25 puntos. Así que obtendremos 6,25 puntos extra por cada 100 preguntas que respondamos de esta forma.

Si hay más de una opción que puedas descartar seguro. Las probabilidades se multiplican. Por ejemplo si puedes descartar seguro 2 de las 5 opciones obtienes 16,33 puntos extra por 100 preguntas contestadas de esta forma. Si descartas 3 obtienes 37,5 puntos.

3r punto importante: Si contestas aleatoriamente es mejor mantener un criterio. Por ejemplo contestas la primera opcion de las opciones restantes. Es decir si hay como opciones a, c, e contestas la a. Si las opciones son a, b, d, e contestas la a. Si son c,d,e respondes la b. Este es el punto más difícil de entender. Lo intentaré explicar con un ejemplo:

Un niño se pierde en un bosque de 10.000 m^2, su padre se pone a buscarlo pero visualmente solo puede cubrir 100 m^2 asi que puede ver 1/100 partes del bosque. cada cierto tiempo se mueve hasta otro punto y ver otros 100 m^2.

Si el niño esta quieto en 100 intervalos temporales como máximo lo habra encontrado, ya que habrá visto todo el bosque. Sin embargo si el niño se mueve puede que no se lleguen a encontrar nunca, porque van variando los dos, y sólo hay final feliz cuando coinciden padre e hijo

Esto es igual, la opción correcta varia en cada pregunta, si la opción marcada no varia alguna acabará por coincidir. Si a la variación de cual es la opción correcta introducimos una variación que es la opción marcada. Es posible que la marcada no coincida nunca con la correcta porque se mueven las dos.

Para ser rigurosos el ejemplo del padre y el hijo no es identico, pero nos sirve.

4o punto importante: Si las opciones son valores numericos marca el que empiece por un número más bajo. Como ya expliqué en la ley de Benford si las opciones son a)723 b)1426 c)423 d)891 e)2023 probablemente la correcta sea la b.

5o punto importante: Normalmente en las respuestas correctas de un exámen hay igual numero de a que de b que de c, etc. Si en las respuestas seguras hay muchas c en las que contestes aleatoriamente intenta marcar menos opciones c.

Seguro que me dejo algunas, pero ahora estas son todas las que se me ocurren

La sucesión de Fibonacci

Alejo y un lector anónimo me hicieron unas propuestas que creo que con esta famosa sucesión puedo cumplir a la vez.

Hace unos meses unos amigos me regalaron un bonsai (un olmo). Es muy bonito y me encanta podarlo, regarlo (con una jeringuilla), etc. Pero además te permite ver de cerca el crecimiento "programado" de un olmo en el salón de tu casa. Uno puede observar que si no lo podase (lo que es inevitable para impedir que el bonsai siga siendo pequeño), el número de rámas seguiria una sucesión de Fibonacci.

Pero, antes de nadas las presentaciones. La sucesión de Fibonacci, es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Donde el siguiente término se hace sumando los dos anteriores. 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8... O lo que es lo mismo F(n+1)=F(n)+F(n-1)

Ahora imaginemos una yema. Esta yema al cabo de un periodo de tiempo t se habrá convertido en rama. Pasado un tiempo t la rama habrá crecido y formado otra yema en el lateral. Pasado un un nuevo periodo de tiempo t la rama habrá seguido creciendo y habrá formado otra yema pero la yema que había formado en el ciclo anterior se habrá convertido en rama, y el ciclo se repetirá haciendo algo como este dibujo. Donde el número de ramas sigue una sucesión de Fibonacci.



Si nos fijamos veremos que también el número de yemas sigue una sucesión de Fibonacci atrasada un ciclo y por lo tanto el numero de ramas más el número de yemas también forma esa sucesión.

Aunque he de decir que esto es simplificar, la distribucion de ramas es tridimensional y estas se distribuyen formando una espiral, el numero de ramas entre una y otra en su misma vertical es un número de Fibonacci. En el ejemplo he supuesto que la espiral cada media vuelta crea una gema para que siempre me quedase en en plano de dibujo, pero no tiene por que ser así. Lo que siempre se cumplirá es que entre una rama y otra de la misma vertical es un número de Fibonacci. Pero esto es un poco más difícil de ver.

¿Por que esta forma? Como la mayoría de cosas en la naturaleza es porque es la manera más eficiente para rellenar el espacio con formas crecientes.

Por eso esta sucesión es famosa. La podemos encontrar en la distribución de las semillas del girasol, o en las pautas de reproducción de parejas de conejos.

Una curiosidad más de esta serie es que si dividimos un número por el anterior a medida que la serie aumenta, tiende más a la sección áurea (si os interesa, puedo hablar de ella otro día, decidmelo y tal).

Además es un patrón repetitivo (cada sub-rama sigue el mismo patrón que la rama grande) con lo cual esto es un fractal (también podemos hablar de esto otro día)

Así que ya sabéis si trabajáis en una empresa de plantas falsas (de plástico) y las queréis hacer realistas o si sois pintores, tened en cuenta esta serie ;-)

Ley de Benford

Es una ley muy muy curiosa ¿crees que un número tiene las mismas posibilidades que su primera cifra sea un 1 que un 9?.

La historia empieza a finales del siglo XIX, en esa época no existían las calculadoras y para hacer ciertas operaciones se utilizaban las propiedades de los logaritmos. Debido a esto había tablas y tablas de logaritmos para su conversión. Es decir cogías un número grande, mirabas las tablas y calculabas el logaritmo, hacias las operaciones con logaritmos y luego hacias la inversa nuevamente mirando las tablas

Fue examinando esas tablas cuando de manera independiente Simon Newcomb y Frank Benford descubrieron que había muchos más números que empezaban por 1 que por el resto de números. Benford a partir de los resultados empíricos propuso la ley que lleva su nombre. Segun la ley, las posibilidadesde que un número sea la primera cifra son:

• 1 30.1 %
• 2 17.6 %
• 3 12.5 %
• 4 9.7 %
• 5 7.9 %
• 6 6.7 %
• 7 5.8 %
• 8 5.1 %
• 9 4.6 %

(Cifras extraídas de Wikipedia)

Esto es porque empezamos a contar por 1, así que para que todos los números hayan salido el mismo número de veces tenemos que esperar hasta 9, pero nos dura poco ya que el siguiente numero es 10 y hasta el 19 las primeras cifras son 1. Deberemos esperar al 99 para que hayan aparecido todos los números el mismo número de veces, pero vuelve a durar poco ya que empezamos con el 100, etc.

Esta ley se utiliza para detectar posibles defraudadores de hacienda, al observar que los números declarados no siguen las proporciones de la ley de Benford

Probabilidades

Leía en el blog del Tio Petros que la mente humana no está demasiado preparada para calcular probabilidades. Lo cual es extranyo porque en un mundo donde hay bastantes sucesos que no siguen un determinismo las probabilidades darian una ventaja evolutiva.

Ya hablé en este blog de probabilidades que se prestaban a confusión en esta entrada pero lo que voy a explicar ahora se puede comprobar en casa. Y os puede hacer ganar algo de dinero con algún incauto. Jejeje

Coge tres dados (no trucados se entiende). Es decir que tenga las mismas posibilidades de salir un número u otro. Si los tres dados son iguales para distinguirlos haz una marca con imborrable distinta en cada uno.

Bien, aquí para distinguir los dados los llamaremos A, B, o C
Coge el dado A y imagina que tiene dos 4 y cuatro 3. Para hacerlo mas facil apunta en un papel 1=3 2=3 3=3 4=3 5=4 6=4 asi que si sale un 1 en el dado A sabes que es como si fuese un 3 etc...

Al final tenemos que tener
dado A con las caras 3, 3, 3, 3, 4, 4
dado B con las caras 6, 6, 2, 2, 2, 2
dado C con las caras 1, 1, 5, 5, 5, 5

Ahora imaginad que os digo elegid un dado, yo elegire otro haremos 100 tiradas y el que gane más tiradas invitará a una Coronita al otro. Despues de pensar un rato os decidis por el dado C que tiene cuatro 5 y parece que tiene más posibilidades de ganar. Acto seguido yo elijo el B. Después de tirar las 100 veces yo he ganado 56 veces y vosotros 44. Así que me quedo con la Coronita.

El dia siguiente intentando recuperar el coste de la Coronita proponéis el mismo juego. Pero ahora sabéis que el dado B es el mejor así que lo elegís y yo me conformo con el que parece peor es decir el A. Tiramos 100 veces y vuelvo a ganar yo por 67 a 33.

Una vez demostrado que A aunque no lo parecía es el mejor dado (puesto que C ha sido derrotado por B y, B ha sido derrotado por A). Decidis que las probabilidades son engañosas, pero ya no os volverá a pasar nunca más. Así que volveis a proponer el juego. Esta vez, naturalmente elegís el dado A. Y como total no voy a ganar elijo el peor dado, el C. Pero resulta que después de jugar 100 partidas vuelvo a ganar 67 a 33.

Esta es la explicación:

Si al dado A le asignamos el color azul
al dado B el color rojo
Y al dado C el color verde

Podemos hacer unos cuadros como estos donde examinamos todas las posibilidades.



como se puede ver el dado A gana al B, el B gana al C y el C gana al A. Es algo parecido al juego piedra papel tijera, no hay ninguno mejor.

Pero esto no acaba aquí, si en vez de ser dados fuesen lineas de autobuses donde hay cuatro autobuses de la linea A que pasan cada 3 minutos y dos que pasan cada 4 minutos, lo mismo para las lineas B y C. Entonces es más probable que el autobus B llegue antes que el autobus A, pero el C es más probable que llegue antes que el B. Pero no es el C el primero en llegar, ya que es más probable que A llegue antes que el C, y B antes que el A... entonces ¿cuál sería el primero en llegar? jajajaja